A proporção áurea é um dos números irracionais mais famosos; continua para sempre e não pode ser expresso com precisão sem espaço infinito. (Imagem: © Shutterstock) A maioria das pessoas raramente lida com números irracionais – uma vez que são infinitos – e representá-los com precisão requer uma quantidade infinita de espaço. Porém, constantes irracionais como π e √2 – números que não podem ser reduzidos a uma fração simples – frequentemente surgem na ciência e na engenharia. Esses números difíceis têm atormentado os matemáticos desde os antigos gregos; de fato, a lenda diz que Hippasus foi afogado por sugerir que existiam números irracionais. Agora, no entanto, um dilema de 80 anos de idade sobre o quão bem eles podem ser aproximados foi resolvido.
Muitas pessoas conceituam números irracionais arredondando-os para frações ou decimais: estimar π como 3,14, o que equivale a 157/50, leva a uma ampla celebração do Dia do Pi em 14 de março. No entanto, uma aproximação diferente, 22/7, é mais fácil de entender e mais próxima de π. Isso leva à pergunta: Existe um limite para quão simples e precisas essas aproximações podem ser? E podemos escolher uma fração da forma que quisermos?
Em 1941, o físico Richard Duffin e o matemático Albert Schaeffer propuseram uma regra simples para responder a essas perguntas. Considere uma busca para aproximar vários números irracionais. Primeiro, decida a que distância a aproximação deve estar para frações de um denominador específico. (Lembre-se, o “numerador” refere-se ao topo de uma fração e o “denominador” ao fundo. Aqui, todas as frações são totalmente simplificadas – portanto, por exemplo, 2/4 não conta como tendo o denominador 4 porque simplifica para 1/2.) Você pode decidir que frações simplificadas da forma n / 2 podem aproximar-se de qualquer número irracional cujo valor verdadeiro esteja dentro de 1/10 delas – dando à aproximação um “erro” de 1/10. Frações que se parecem com n/ 10 estão mais próximos na linha numérica do que aqueles com denominador 2, portanto, nesse caso, você pode limitar o erro a apenas 1/100 – essas frações podem aproximar-se de qualquer coisa a 1/100 deles.
Geralmente, denominadores maiores estão associados a erros menores. Se isso for verdade, e existem infinitos denominadores que podem ser usados para aproximar um número do erro correspondente, aumentando o denominador, a aproximação pode se tornar cada vez melhor. A regra de Duffin e Schaeffer mede quando isso pode ser feito com base no tamanho dos erros.
Se os erros escolhidos forem suficientemente pequenos em conjunto, um número irracional x escolhido aleatoriamente terá apenas um número limitado de boas aproximações: pode cair nas lacunas entre aproximações com denominadores específicos. Mas se os erros forem grandes o suficiente, haverá infinitos denominadores que criam uma boa fração aproximada. Nesse caso, se os erros também diminuírem à medida que os denominadores aumentam, você pode escolher uma aproximação que seja tão precisa quanto desejar.
Não comprovado
O resultado é que você pode aproximar quase todos os números arbitrariamente bem, ou quase nenhum deles. “Existe uma dicotomia impressionante”, diz Dimitris Koukoulopoulos, matemático da Universidade de Montreal. Além disso, você pode escolher os erros da maneira que desejar e desde que eles sejam grandes o suficiente em termos agregados, a maioria dos números pode ser aproximada infinitamente de várias maneiras. Isso significa que, escolhendo alguns erros como zero, você pode limitar as aproximações a tipos específicos de frações – por exemplo, aqueles com denominadores com potências de 10 apenas.
Embora pareça lógico que pequenos erros dificultem a aproximação dos números, Duffin e Schaeffer não conseguiram provar sua conjectura – e nem mais ninguém. A prova permaneceu “um problema em aberto” na teoria dos números, diz Christoph Aistleitner, matemático da Universidade de Tecnologia Graz, na Áustria, que estudou o problema. Isto é, até este verão, quando Koukoulopoulos e seu co-autor, James Maynard, anunciaram sua solução em um artigo publicado no servidor de pré-impressão arXiv.org.
A conjectura de Duffin-Schaeffer “tem essa simplicidade mágica em uma área da matemática que normalmente é excepcionalmente difícil e complicada”, diz Maynard, professor da Universidade de Oxford. Ele tropeçou no problema por acidente – ele é um teórico dos números, mas não na mesma área que a maioria dos especialistas em Duffin-Schaeffer. (Ele normalmente estuda números primos – aqueles que são divisíveis apenas por si mesmos e 1.) Um professor da Universidade de York sugeriu que Maynard resolvesse a conjectura de Duffin-Schaeffer depois de dar uma palestra lá. “Acho que ele tinha a intuição de que seria benéfico tirar alguém um pouco fora desse campo imediato”, diz Maynard. Essa intuição acabou sendo correta, embora não daria frutos por vários anos. Muito tempo depois dessa conversa inicial,
Maynard e Koukoulopoulos sabiam que o trabalho anterior no campo havia reduzido o problema a um sobre os fatores primos dos denominadores – os números primos que, quando multiplicados, produzem o denominador. Maynard sugeriu pensar sobre o problema como sombreamento em números: “Imagine, na linha numérica, colorir todos os números próximos às frações com denominador 100.” A conjectura de Duffin-Schaeffer diz se os erros são grandes o suficiente e um faz isso para cada possível denominador, quase todo número será colorido infinitamente várias vezes.
Para qualquer denominador em particular, apenas parte da linha numérica será colorida. Se os matemáticos pudessem mostrar que para cada denominador foram coloridas áreas suficientemente diferentes, elas garantiriam que quase todos os números fossem coloridos. Se eles também pudessem provar que essas seções estavam sobrepostas, poderiam concluir que isso aconteceu muitas vezes. Uma maneira de capturar essa ideia de áreas diferentes, mas sobrepostas, é provar que as regiões coloridas por diferentes denominadores não têm nada a ver uma com a outra – elas são independentes.
Mas isso não é verdade, especialmente se dois denominadores compartilham muitos fatores primos. Por exemplo, os possíveis denominadores 10 e 100 compartilham os fatores 2 e 5 – e os números que podem ser aproximados por frações da forma n / 10 exibem sobreposições frustrantes com aqueles que podem ser aproximados pelas frações n / 100 .
Representando graficamente o problema
Maynard e Koukoulopoulos resolveram esse enigma reformulando o problema em termos de redes nas quais matemáticos chamam de gráficos – um monte de pontos, alguns conectados por linhas (chamadas arestas). Os pontos em seus gráficos representavam possíveis denominadores que os pesquisadores queriam usar para a fração aproximada, e dois pontos estavam conectados por uma aresta se tivessem muitos fatores primos em comum. Os gráficos tinham muitas arestas exatamente nos casos em que os denominadores permitidos tinham dependências indesejadas.
O uso de gráficos permitiu que os dois matemáticos visualizassem o problema de uma nova maneira. “Uma das maiores ideias de que você precisa é esquecer todas as partes sem importância do problema e apenas compreender os um ou dois fatores que o tornam muito especial”, diz Maynard. Usando gráficos, ele diz, “não apenas permite que você prove o resultado, mas realmente diz algo estrutural sobre o que está acontecendo no problema”. Maynard e Koukoulopoulos deduziram que gráficos com muitas arestas correspondiam a uma situação matemática altamente estruturada específica que eles poderiam analisar separadamente.
A solução da dupla foi uma surpresa para muitos no campo. “O sentimento geral era de que isso não estava perto de ser resolvido”, diz Aistleitner. “A técnica de usar [gráficos] é algo que talvez no futuro seja considerado tão importante [quanto] – talvez mais importante que – a conjectura real de Duffin-Schaeffer”, diz Jeffrey Vaaler, professor aposentado da Universidade de Texas, Austin, que provou um caso especial da conjectura em 1978.
Outros especialistas podem levar vários meses para entender todos os detalhes. “A prova agora é uma prova longa e complicada”, diz Aistleitner. “Não basta apenas ter uma ideia impressionante e brilhante. Há muitas, muitas partes que precisam ser controladas. ”Em 44 páginas de matemática técnica densa, até as principais mentes matemáticas precisam de tempo para entender o artigo. A comunidade, no entanto, parece otimista. Vaaler diz: “É um artigo bonito. Eu acho que está correto.
Este artigo foi publicado pela primeira vez em ScientificAmerican.com . © ScientificAmerican.com . Todos os direitos reservados Siga a Scientific American no Twitter @SciAm e @SciamBlogs. Visite ScientificAmerican.com para obter as últimas notícias de ciência, saúde e tecnologia. Artigo traduzido e adaptado de LiveScience