Três quebra-cabeças testam se o conceito de infinito realmente existe fisicamente.
A geometria euclidiana tem uma maneira de transformar os alunos matematicamente inclinados para amantes da matemática ao longo da vida. Mas uma suposição primitiva sempre incomodou: A definição de um “ponto geométrico” refere-se a algo que tem posição, mas sem dimensões, de modo que não pode haver um número infinito deles em qualquer segmento de linha. Enquanto você pode imaginar tal coisa no mundo abstrato da matemática, isso não pode ser realizado em um nível físico por um objeto do mundo real.
Quando vemos uma multidão de reflexões em dois espelhos paralelos, nós vagamente dizemos que ela vai durar para sempre, mas, na realidade, as imagens ficam cada vez menores. Em algum limite físico, a informação da imagem é perdida: Estamos todos familiarizados com a pixelação de imagens digitais.
Os matemáticos desenvolveram a teoria do infinito a um grau requintado – o conceito de números transfinitos de Georg Cantor é notável por sua beleza, “uma torre de infinitos sem conexão com a realidade física”. Infinitos permeiam implicitamente muitos conceitos matemáticos conhecidos, como a ideia de pontos mencionada acima, a ideia do continuum, e o conceito de infinitesimais no cálculo. Mas pode realmente existirem infinidades em qualquer aspecto do mundo físico? O espaço é verdadeiramente infinito como alguns modelos inflacionários do universo afirmam? ou é de alguma forma “pixelizada” no nível mais baixo? Em um livro extremamente interessante, esta ideia pode morrer, no qual muitos pensadores eminentes descrevem ideias científicas que consideram equivocadas. O físico Max Tegmark do Instituto de Tecnologia de Massachusetts argumenta que é hora de banir o infinito da física. Enquanto “a maioria dos físicos e matemáticos tornaram-se tão encantados com o infinito que eles raramente questionam isso“, Tegmark escreve, o infinito é apenas “uma aproximação extremamente conveniente para o qual não descobrimos alternativas convenientes.” Tegmark acredita que precisamos descobrir a infinidade de equações-livros descrevendo as verdadeiras leis da física.
Não temos de examinar os fundamentos da física para ver exemplos de como a suposição infinita pode dar respostas qualitativas que não são muito corretas no mundo real. Eis aqui três quebra-cabeças que ilustram isso. Nestes exemplos, não ficamos preso em detalhes práticos. Se concentramos em como as respostas teóricas mudam a medida que você descartar a noção de infinito.
1. Pode um número que finito, mas muito grande substituto por um infinito?
Esta primeira pergunta é apenas um aquecimento para mostrar como podemos substituir pensamentos infinitísticos por pensamentos finitísticos. Trata-se do famoso Hotel de Hilbert, uma ideia introduzida por David Hilbert, em 1924.
Considere um hotel hipotético com um número infinito contável de quartos, todos os quais estão ocupados. Nesse hotel pode-se acomodar 1.000 novos clientes, sem aumentar o número de hóspedes em qualquer um dos quartos ocupados? Se você tivesse um número finito de quartos, o princípio da casa dos pombos seria aplicável. Neste contexto, este princípio de senso comum diz que você não pode ter n + 1 pombos em n buracos se há apenas espaço para um pombo em cada buraco. Mas em um hotel infinito, é fácil! Nós apenas movemos todos os residentes de sua própria sala n para o quarto n + 1.000. Voilà! Os 1000 quartos estão agora vazios!
Observe a prestidigitação envolvida no uso infinito desta forma. Esta solução não pode trabalhar com um número finito de quartos, não importa quão grandes eles sejam. Vamos limitar-nos à noção de que o número de quartos pode ser tão grande quanto o tamanho do universo permite, mas deve ser finito. Pode a questão ainda ser respondido positivamente? Bem, acontece que você pode facilmente acomodar 1.000 novos hóspedes em um hotel físico finito que está atualmente completo. Esse trabalho demora menos tempo do que mover uma única pessoa de uma sala para outra. Há uma suposição razoável de que há uma pequena probabilidade, diferente de zero, de uma pessoa dentro de um determinado tempo. Vamos supor que, conservadoramente, a probabilidade de um hospede em um determinado dia seja um em cada cem. Você pode imaginar como o hotel poderia colocar seus hóspedes adicionais?
2. Há limites físicos para a quantidade menor mensurável de espaço?
É um teorema de geometria plana no qual a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior do que o comprimento do terceiro. Mas se houver um limite físico para o menor comprimento do espaço que, é mensurável dizer que existe algum lugar perto do limite de Planck de 1,6 x 10^-35 metros? Será que este teorema da geometria ainda detêm perto que o comprimento?
Vamos substituir um comprimento menos assustador, mas ainda microscópica para o comprimento de Planck. Imagine que as leis da física impeça-o de medir qualquer coisa menor que 0,001 micron. você pode ter um triângulo no plano que tem lados medindo 100, 200 e 300 microns? Pode tal triângulo, sabendo que suas partes são incrivelmente planas, tem uma área mensurável? você pode ir mais longe e tem um triângulo que tem uma soma de dois lados que medem menor do que o comprimento do terceiro lado? As respostas podem surpreendê-lo.
3. Quão afiado é um foco geométrico no mundo real?
Considere o caso de um mesa de bilhar ou um bilhar elíptico. Uma elipse é uma figura geométrica que tem dois focos. Qualquer linha reta traçada a partir de um foco para a circunferência da elipse é reflectida para o outro foco. Agora vamos supor que você tem uma mesa de bilhar com um bolso em um dos focos. Se você colocar a bola no outro foco, não importa em que direção você vá atingi-la – ela ainda deve se encaçapar no bolso. Certo?
A tabela física não é perfeita, claro, mas vamos supor que ele seja. Existe ainda o problema de que o foco matemático é um ponto adimensional, ao passo que uma bola, sendo um objeto físico, tem um tamanho finito. Como é que este tamanho finito afeta a precisão com que a bola vá para o outro foco quando você bater com o taco? Diante disto, e o do fato que nenhum jogador é perfeito, você vai ter resultados igualmente bons, não importa qual direção você bater a bola enquanto ela estiver em um foco inicial? Se o eixo principal da mesa ter 2 metros de comprimento e o eixo menor ter 1 metros, qual é a melhor direção para acertar a bola de um foco para que ela salte e role no bolso no outro foco? Assuma que o bolso tem cerca de 1,5 vezes o diâmetro da bola. Será que você vai mudar sua conclusão se a bola e o bolso forem tão pequenos quanto fisicamente possível sem alterarem seus tamanhos relativos?
Feliz insight! Eu espero que estas perguntas lhe deem novos insights sobre o contraste entre o infinito na matemática e no mundo físico.
Traduzido e adaptado de Quanta Magazine